サマリー
アルゴリズムは、入力を取り込み、それを何らかの手順で処理し、最終的に出力を返すプロセスを表すもので、コンピューターサイエンスや数学、物理学、経済学、心理学など、多くの分野で利用されているものとなる。またアルゴリズムは、ある問題を解決する手順や方法を明確に定めた手続きということもできる。
アルゴリズムは数学と密接に関連している。数学は、抽象的な問題を形式化し、具体的な問題に変換することができるが、この数学を用いることで、問題を形式化してアルゴリズムに落とし込むことが可能となる。これは具体的には、離散数学での集合論や論理学を用いた、探索アルゴリズムの設計などになる。
このような数学的アプローチは、アルゴリズムの開発だけでなく、アルゴリズムの評価にも用いられる。アルゴリズムの評価は、正しさ、効率性、汎用性などの観点から行われ、正しいアルゴリズムは、すべての入力に対して正しい出力を返す必要があり、効率的なアルゴリズムは、処理時間や必要なリソースの量が少なく、速く処理でき、汎用的なアルゴリズムは、異なる入力に対しても同じ手順で処理できるように設計されている。これらの評価はすべて数学的表現を持って行われている。
アルゴリズムは、コンピュータープログラミングにおいて特に重要であり、多くのプログラムは、特定の問題を解決するために設計されたアルゴリズムを実行することで動作する。プログラミングにおいて、アルゴリズムを設計することは、コンピュータープログラムの設計の中で最も基本的で重要なステップの一つとなる。
ここでは世界標準 MIT 教科書シリーズ「アルゴリズム イントロダクション 第３版」をベースに様々なアルゴリズムとそれらを応用した手法について述べる。
今回は読書メモを述べる。
アルゴリズムイントロダクション
「原著は，計算機科学の基礎分野で世界的に著名な4人の専門家がMITでの教育用に著した計算機アルゴリズム論の包括的テキストであり，その第3版．前版までで既にアルゴリズムとデータ構造に関する世界標準教科書としての地位を確立しているが，より良い教科書を目指して再び全面的な記述の見直しがなされ，それを基に新たな章や節の追加なども含めて，大幅な改訂がなされている．
単にアルゴリズムをわかりやすく解説するだけでなく，最終的なアルゴリズム設計に至るまでに，どのような概念が必要で，それがどのように解析に裏打ちされているのかを科学的に詳述している．
さらに各節末には練習問題（全957題）が，また章末にも多様なレベルの問題が多数配置されており（全158題），学部や大学院の講義用教科書として，また技術系専門家のハンドブックあるいはアルゴリズム大事典としても活用できる．
本書は，原著の第1〜35章，および付録A〜Dまでの完訳総合版である．また巻末の索引も圧巻で，和（英）‐英（和）という構成により，「数理用語辞典」としてもまことに有用である．」
第一部 基礎
序論
1 計算におけるアルゴリズムの役割
1.1 アルゴリズム
1.2 科学技術としてのアルゴリズム
2 さあ、始めよう
2.1 挿入ソート
2.2 アルゴリズムの解析
2.3 アルゴリズムの設計
3 関数の増加
3.1 漸近記法
3.2 標準的な記法と一般的な関数
4 分割統治
4.1 最大部分配列問題
4.2 行列積のためのStrassenのアルゴリズム
4.3 漸化式を解くための置換え法
4.4 漸化式を解くための再帰木法
4.5 漸化式を解くためのマスター法
4.6 マスター定理の証明
5 確率的解析と乱択アルゴリズム
5.1 雇用問題
5.2 指標確率関数
5.3 乱択アルゴリズム
5.4 確率的解析と指標確率変数のさらなる利用
第二部 ソートと順序統計量
序論
6 ヒープソート
6.1 ヒープ
6.2 ヒープ条件の維持
6.3 ヒープの構築
6.4 ヒープソートアルゴリズム
6.5 優先度付きキュー
7 クイックソート
7.1 クイックソートの記述
7.2 クイックソートの性能
7.3 乱択版クイックソート
7.4 クイックソートの解析
8 線型時間ソート
8.1 ソートの下界
8.2 計数ソート
8.3 基数ソート
8.4 バケツソート
9 中央値と順序統計量
9.1 最大値と最小値
9.2 線形期待時間選択アルゴリズム
9.3 線形最悪時間選択アルゴリズム
第三部 データ構造
序論
10 基本データ構造
10.1 スタックとキュー
10.2 連結リスト
10.3 ポインタとオブジェクトの実現
10.4 根付き木の表現
11 ハッシュ表
11.1 直接アドレス表
11.2 ハッシュ表
11.3 ハッシュ関数
11.4 オープンアドレス指定法
11.5 完全ハッシュ法
12 2分探索木
12.1 2分探索木
12.2 2分探索木に関する質問
12.3 挿入と削除
12.4 ランダムに構成した2分探索木
13 2色木
13.1 2色木の性質
13.2 回転
13.3 挿入
13.4 削除
14 データ構造の補強
14.1 動的順序統計量
14.2 データ構造補強法
14.3 区間木
第四部 高度な設計と解析の手法
序論
15 動的計画法
15.1 ロッド切出し
15.2 連鎖行列積
15.3 動的計画法の基本要素
15.4 最長共通部分列
15.5 最適2分探索木
16 貪欲アルゴリズム
16.1 活動選択問題
16.2 貪欲戦略の基本要素
16.3 ハフマン符号
16.4 マトロイドと貪欲法
16.5 マトロイドとしてのタスクスケジューリング
17 ならし解析
17.1 集計法
17.2 出納法
17.3 ポテンシャル法
17.4 動的な表
第五部 高度なデータ構造
序論
18 B木
18.1 B木の定義
18.2 B木上の基本操作
18.3 B木からのキーの削除
19 フィナボッチヒープ
19.1 フィナボッチヒープの構造
19.2 マージ可能ヒープ操作
19.3 キー値の下方修正と節点の削除
19.4 最大次数の上昇
20 van Emde Boas木
20.1 設計方針の予備的考察
20.2 再帰構造
20.3 van Emde Boas木
21 互いに素な集合族のためのデータ構造
21.1 互いに素な集合族の操作
21.2 連結リストによるお互いに素な集合族の表現
21.3 互いに素な集合の森
21.4 経路圧縮を用いるランクによる合併の解析
第六部 グラフアルゴリズム
序論
22 基本的グラフアルゴリズム
22.1 グラフの表現
22.3 幅優先探索
22.4 深さ優先探索
22.4 トポロジカルソート
22.5 強連結成分
23 最小全域木
23.1 成長法による最小全域木の生成
23.2 KruskiとPrimのアルゴリズム
24 単一始点最短問題
24.1 Bellman-Fordアルゴリズム
24.2 有向非巡回グラフにおける単一始点最短路
24.3 Dijkstraのアルゴリズム
24.4 差分制約と最短路
24.5 最短路の性質の証明
25 全点対最短路
25.1 最短路と行列積
25.2 Floyd-Warshallアルゴリズム
25.3 疎グラフに対するJohnsonのアルゴリズム
26 最大フロー
26.1 フローネットワーク
26.3 Ford-Fukerson法
26.3 2部グラフの最大マッチング
26.4 プッシュ再ラベルアルゴリズム
26.5 再ラベルフロント稼働アルゴリズム
第七部 精選トピックス
序論
27 マルチスレッドアルゴリズム
27.1 動的マルチスレッドの基礎
27.2 行列演算のためのマルチスレッドアルゴリズム
27.3 マージソートのマルチスレッド化
28．行列演算
28.1 連立1次方程式の解法
28.2 逆行列の計算
28.3 対称正定値行列と最小2乗近似
29．線形計画法
29.1 標準形とスラック形
29.2 線形計画としての問題の定式化
29.3 シンプレックスアルゴリズム
29.4 双対性
29.5 初期実行可能基底解
30．多項式とFFT
30.1 多項式の表現
30.2 DFTとFFT
30.3 効率の良いFFTの表現
31．整数論的アルゴリズム
31.1 整数論の基本概念
31.2 最大公約数
31.3 剰余演算
31.4 1次合同式の解法
31.5 中国人剰余定理
31.6 要素のベキ乗
31.7 RSA公開鍵暗号系
31.8 要素判定
31.9 整数の素因数分解
32．文字列照合
32.1 素朴な文字列照会アルゴリズム
32.2 Rabin-Krapアルゴリズム
32.3 有限オートマトンを用いる文字列照合
32.4 Knuth-Morris-Prattアルゴリズム
33．計算幾何学
33.1 線分の性質
33.2 線分交差判定
33.3 凸包の構成
33.4 最近点対の発見
34．NP完全性
34.1 多項式時間
34.2 多項式時間検証
34.3 NP完全性と帰着可能性
34.4 NP完全性の証明
34.5 NP完全問題
35．近似アルゴリズム
35.1 1兆点被覆問題
35.2 巡回セールスマン問題
25.3 集合被覆問題
35.4 乱択化
35.5 部分和問題
付録 数学的基礎：
A和
A.1 和の公式と性質
A.2 和の上界と下界
B集合など
B.1 集合
B.2 関係
B.3 関数
B.4 グラフ
B.5 木
C数え上げと確率
C1 数え上げ
C2 確率
C3 離散確率変数
C4 幾何分布と2項分布
C5 2項分布の裾
D.行列
D1 行列と行列演算
D2 行列の基礎的性質
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