揺らぎとその応用

揺らぎについて

「揺らぎ」とは、一般にわずかに動いて定まらない状態や、小さな変化を繰り返して安定しない様子を指す言葉になる。たとえば、「炎の揺らぎ」や「音の揺らぎ」など、物理的に微細な動きを伴う現象を示すほか、「心の揺らぎ」「価格の揺らぎ」といったように、心理的・社会的な不安定さや変動にも用いられる。また、物理学の分野では、揺らぎは熱運動や量子力学などにおける一時的・確率的な微小変動を意味し、規則的なパターンの中に自然に生じる乱れやゆれを表す重要な概念とされている。

哲学観点でこの揺らぎを深掘りすると、安定・決定された秩序の外にある、不確かで流動的な存在・出来事・意味を示唆するという概念に繋がる。

これらの概念は、創造性・自由・関係性・生成を語るための核となるものと考えられ、”ゆらぎの美 -日本画と和様の書について“に述べているように、日本の美意識と大きく関係するものとなる。

以下にこれら哲学的な解釈についてもう少し述べてみたいと思う。

まず「揺らぎ」とは、秩序と混沌のあいだに存在する現象になるという観点がある。これは、”自由意志とAI技術と荘子の自由“で述べているような世界全体の成り行きがあらかじめ決定されているという決定論的なものでも”確率の哲学的視点と不確実性のAIによる解決“で述べられている確率的な完全なランダムでもない、中間的かつ限界的な状態であることを指す。

複雑系や非線形力学の分野では、このような揺らぎこそが創発や新たな秩序の形成を引き起こす重要な契機とされている。哲学的には、「秩序＝真理、混沌＝無意味」といった二項対立の図式を揺るがし、むしろ秩序の根源が不安定さや偶然性の中にこそ潜んでいるという新たな視座を提示する概念となっている。

このような「揺らぎ」の概念は、創発（Emergence）現象の前提条件として重要な役割を果たす。”不風流処也風流 – 風流ならざるところもまた風流“で述べているようにイリヤ・プリゴジンは、熱力学第二法則が示すように、閉じた物理系ではエントロピーが増大し無秩序に向かう一方で、外部とエネルギーや物質を交換する「開かれた系」では、むしろ小さな揺らぎが新たな秩序や構造を生み出すことを明らかにしている。

これが「散逸構造（dissipative structure）」の理論であり、液体の対流、生命の誕生、意識の形成、さらには社会構造の出現など、多くの複雑な現象が、エネルギーの流れの中での揺らぎから形成されることを示している。プリゴジンはこの考え方を「決定論の死」と呼び、確率性や不確実性を創造性の源泉として再評価している。

“禅の思想と歴史、大乗仏教、道の思想、キリスト教“でも述べているように仏教や道教においても、「揺らぎ」は不確実さや混沌として否定されるものではなく、むしろ真理の核心として肯定的に捉えられている。大乗仏教では、「空（くう）」という概念を通じて、すべての存在は固定的な実体を持たず、関係性や条件によって絶えず変化し続ける流動的なものであるとされる。すなわち、存在の実相そのものが「揺らぎ」であると見る。

また、道教における「無為自然」は、人為的な操作を離れ、自然の揺らぎに身を委ねることで真の調和を得るという思想であり、「道（タオ）」とは静的な秩序ではなく、生成変化し続ける流動的な原理である。これらの思想において、「揺らぎ」は調和を乱すものではなく、調和を可能にする前提として深く尊重されている。

近代哲学の世界においても、例えばマルティン・ハイデッガーは、「存在は本来的に揺らいでいる」と捉え、存在を単なる客体的なものではなく、「開かれるもの」「隠れるもの」として詩的に現れる動的な過程とみなしている。彼にとって、揺らぎとは存在の詩的開示＝アレーテイア（aletheia）としての運動であり、固定された真理ではなく、出来事（Ereignis）として展開される存在そのものの揺れに他ならない。

また、日本思想においても、梅原猛が神道や仏教を含む自然信仰の中にある「あわい（間）」という概念に注目し、境界の曖昧さ＝揺らぎこそが霊性や自然の本質を宿す場であると説いたり、中沢新一が、自然と人間、論理と感覚の境界が流動的に交差する場所として「揺らぎ」を再評価し、著書『森のバロック』において、論理と感性の間にある“野生の思考”として提示している。

このように、「揺らぎ」は西洋・東洋を問わず、存在論・自然科学・宗教思想において、創造・秩序・霊性を生み出す根源的な運動として位置づけられるものとなっている。

自然界での揺らぎ

この「揺らぎ」は、さまざまな物理分野で基本的かつ重要な概念となっている。

統計力学においては、多数の粒子からなる系のマクロな性質（温度、圧力、エントロピーなど）は、ミクロな粒子の運動や状態の揺らぎを統計的に平均することで決定され、熱力学では、平衡状態においても完全な静止ではなく、エネルギーや粒子数にわずかな変動が存在し、これが系の安定性や応答特性に影響を与えるものとなっている。

さらに量子力学や量子場の理論においては、決定論的な振る舞いが破れ、粒子の存在や真空の状態そのものが揺らぎ、物理現象が本質的に確率的に記述される領域に入る。

この概念は、ビッグバン直後、宇宙は極めて短時間で急膨張した（インフレーション）とされるインフレーション理論の骨格となっており、宇宙の始まりは、量子ゆらぎ（quantum fluctuations）が時空の微細なレベルで発生し、インフレーションによってマクロスケールに拡大されたものである考えられていたり、宇宙における真空は完全な無ではなく、粒子と反粒子の生成・消滅が絶えず起こる“ゆらぎの場”であり、宇宙は、この真空ゆらぎからトンネル的に発生したというモデル等がせ考えられている。

揺らぎの数学的モデル

これらの物理モデルを説明するための道具として、数学的な揺らぎのモデルがいくつか考えられている。

数学的モデルの考え方は、「揺らぎ」をデータや確率変数が平均・期待値・定常状態からどの程度ずれるか、変動するかを指すものとして捉え、この「変動性」を、統計量である分散（variance）や標準偏差（standard deviation）として表現することをベースとすることが基本となっている。

<分散と標準偏差>

「分散」と「標準偏差」は、揺らぎの大きさを表す基本的な統計指標であり、分散は、変数 Xの値がその平均（期待値）からどれだけ離れているかを、偏差の二乗の平均値として定義するものとなっている。数式で表すと以下のようになる。

Var(X)=E[(X−E[X])2]

この分散の平方根が標準偏差であり以下のように定義される。

σ=Var(X)

これらは、データが平均値のまわりにどれだけばらついているか、つまり「揺らぎの大きさ」を定量的に表す指標となる。直感的には、分散や標準偏差が大きければデータは大きく揺らいでおり、小さければ安定していると解釈できる。

<ホワイトノイズ>

このような静的な揺らぎに対して、動的な動きを加える最もシンプルなアプローチがデータにランダムな揺らぎ(ノイズ)を加えるものとなる。ノイズは、データや信号に含まれるランダムで予測不能な変動成分であり、観測誤差や外的要因による不規則なゆらぎとして定義される。多くの場合、ノイズは正規分布や一様分布などの確率分布に基づいてモデル化され、数学的に取り扱うことが可能なものとなる。

それらノイズの中でも「ホワイトノイズ（White Noise）」は、時間的な相関（自己相関）を持たない、あらゆる周波数の成分を均等に含む理想的なランダム信号であり、以下のように数学的に表現される。

• 平均がゼロ：

E[ϵt]=0

• 異なる時点での値が独立（自己相関なし）：

E[ϵtϵs]=σ2δts​

（\(\delta_{is}\)はクロネッカーのデルタで、t=sのとき 1、それ以外は 0）

ホワイトノイズは多くの応用分野で重要な基礎モデルとして利用されており、たとえば時系列分析においては、ARMAやARIMAモデルの誤差（残差）項としてホワイトノイズが前提となって、予測不能な揺らぎを表現している。また、センサーデータや画像処理の分野でも、計測値に含まれる不要な揺らぎ（ノイズ）をモデル化し、フィルタリング（例：カルマンフィルタ、ガウシアンフィルタ）による除去・平滑化の基礎となっている。

このように、ホワイトノイズは「完全に予測不可能で時間的に独立なゆらぎ」として、さまざまな科学・工学的モデリングにおいて不可欠な役割を果たしている。

<フラクチュエーション（Fluctuation）>

揺らぎのモデルの次のステップは、動的な動きに構造や相関を持たせることで、「フラクチュエーション（Fluctuation）」と呼ばれる、これは単なるノイズとは異なった時間的な構造や相関を持った揺らぎのモデルが考えられている。このモデルは、物理、経済、気象、生体信号など、幅広い分野で観測されている。

これらの時間的揺らぎは、確率過程（Stochastic Process）として数学的にモデル化される。代表的な例には以下のようなものがある。

• ブラウン運動（Wiener過程）：微粒子が液体中で不規則に運動する現象をモデル化

• ポアソン過程：ある事象がランダムに一定の平均率で発生するモデル（例：電話の着信数）

• マルコフ連鎖：現在の状態のみに依存して次の状態が決まる確率的モデル

さらに、時間的揺らぎの統計的な性質を分析する際には、以下の統計量が重要な指標として用いられる。

• 自己相関関数（Autocorrelation Function）
  → 過去と現在の状態がどれだけ似ているか（時間的相関の強さ）を示します。自己相関が長く続くほど、揺らぎには時間的なパターンがあるといえます。

• パワースペクトル密度（Power Spectral Density, PSD）
  → フーリエ変換により、フラクチュエーションに含まれる各周波数成分の強さ（エネルギー分布）を分析し、高周波が強い場合は急激な揺らぎが多く、低周波が強い場合はゆっくりとした変動が支配的。

このように、フラクチュエーションは単なる「ばらつき」ではなく、時間的な構造を持った揺らぎであり、その性質を理解するためには、確率過程・相関解析・周波数解析といったツールが不可欠となっている。

<量子力学的モデル>

さらに進んだ揺らぎのモデルとして、量子力学の基本方程式となるはハイゼンベルクの不確定性原理がある。これらは以下のような式で表される。

\[\Delta x\cdot\Delta p\leq \frac{h}{2}\]

この式は、ある粒子の位置の不確かさ(\(\Delta x\))と運動量の不確かさ（\(\Delta p\))の積は、常に\(\frac{h}{2}\)以上の値を持つため、両者を同時に無限に正確に測定することは原理的に不可能であることを表している。

これは、位置を精密に測ろうとすると運動量の不確かさが増え、逆に運動量を精密に測ろうとすると位置の不確かさが増える、という本質的な揺らぎ（ゆらぎ）が自然界には存在することを意味している方程式で、測定装置の精度の限界ではなく、自然法則そのものに限界があること示している。

このように揺らぎのモデルは、量子力学の理論構造の根本に組み込まれている。

揺らぎの数学モデルの応用

「揺らぎの数学モデル」は、単なる理論ではなく、現実世界の複雑性や不確実性のモデリングに極めて有効であり、ビジネス・経済・工学・医療・社会システムに至るまで多くの分野で応用されている。

<分散や標準偏差の応用>

分散や標準偏差といった「揺らぎの大きさ」を表す統計指標は、以下のようなビジネスのさまざまな分野での不確実性の定量化や意思決定の支援に活用されている。

• 金融分野では、株式や債券などのリターンのばらつき、すなわち価格変動の大きさがリスクそのものと見なされる。このとき分散や標準偏差を用いてボラティリティ（変動性）を算出し、VaR（Value at Risk）といった指標により、一定期間内にどの程度の損失が生じる可能性があるかを統計的に評価することが可能になっている。これにより、投資判断やポートフォリオ管理がより科学的かつ透明性の高いものになる。
• 製造業などにおける品質管理（QC）では、製品のサイズや性能にばらつきが生じることは避けられない。このとき各ロットの測定データの分散や標準偏差を算出し、管理図（X̄-R図など）を用いることで、工程が安定しているかどうかを可視化している。ばらつきが規定範囲を超えた場合には異常検知としてフィードバックし、品質の維持・改善に貢献する。
• マーケティング分野においても、顧客の購買頻度や購入金額のばらつきは重要な情報となる。顧客ごとの行動データから分散や標準偏差を算出することで、CLV（Customer Lifetime Value：顧客生涯価値）の予測や、特定顧客が離脱する可能性を定量的に分析できる。これにより、個別最適なマーケティング施策やプロモーション戦略の設計が可能になる。

<ノイズやホワイトノイズの応用>

ノイズやホワイトノイズの概念は、現実世界における観測や測定の場面で不可避な「揺らぎ」、すなわち予測不能なばらつきをモデル化するために広く利用されている。これらの揺らぎは、単なる誤差や障害ではなく、システムの挙動を正確に理解・制御するための情報源でもあり、センサー技術、時系列予測、音声・画像処理など多様な分野で活用されている。

• IoTセンサーの分野では、温度や振動、位置情報などをリアルタイムで取得する際、必ず何らかのノイズが含まれる。これらは計測装置の精度や周囲環境の変動に起因するものであり、そのまま利用すると誤検出や過剰反応を招く可能性がある。こうした場合に、カルマンフィルタや移動平均などの技術を用いてノイズ成分を除去または平滑化することで、より正確な状態推定や異常検知が可能になる。これにより、予防保守や自動制御の精度が大きく向上する。
• 経済予測の分野では、GDPや株価、為替レートといった指標は本質的に不安定で、完全な予測は困難なものとなる。そこでARIMA（自己回帰移動平均）モデルのような時系列モデルが活用され、予測可能な構造部分と、ホワイトノイズとして表現されるランダムな揺らぎ部分を切り分けて扱うことが行われている。これにより、予測の精度だけでなく、どの程度の不確実性が残されているかを明示的に把握することができ、経営判断や政策決定のリスク管理に貢献している。
• 音声認識や画像処理の分野でもノイズ処理は不可欠なものとなっている。たとえば画像には光の反射やセンサーの限界によるばらつきが含まれ、音声には雑音やマイクの性能に起因するノイズが重なる。これらを無視すると、AIや人間が行う認識の精度が著しく低下する。そこで、ガウシアンフィルタやメディアンフィルタといった前処理手法が用いられ、視覚・聴覚情報から不要な揺らぎを除去することで、正確な画像認識・音声認識の実現が可能になる。

このように、ノイズやホワイトノイズの数理モデルは、現実の複雑で不確実な環境の中で本質的な情報を抽出し、判断や制御の精度を高めるための基盤的手法として広く役立てられている。

<フラクチュエーション（fluctuation）の応用>

フラクチュエーションモデルは、金融工学、需要予測、医療信号処理などの分野において、静的な分析では捉えきれない動的な変動の構造を扱うための不可欠なアプローチとなっている。

• 金融アルゴリズムにおいては、株価や為替レートの変動は一見ランダムで予測困難に見えるが、それらの変動をWiener過程（ブラウン運動）として定式化したブラック-ショールズモデルを用いることで、オプション取引などのリスクを定量化し、理論的な価格付けを行うことができる。このように、価格のフラクチュエーションをモデルに組み込むことにより、金融市場の不確実性に対して戦略的に対応することが可能になる。
• サプライチェーンやロジスティクスの分野では、商品の需要や供給は日々ランダムに変動し、突発的な注文が発生することがある。このような状況に対しては、ポアソン過程を用いて事象発生の確率構造をモデル化することで、需要の変動を数学的に扱うことができ、これにより、在庫の最適配置や発注タイミングの調整が可能となり、欠品リスクの低減とコストの最小化が実現される。
• 医療分野では、脳波や心電図などの生体信号は常に微小な変動を伴っており、その中に発作や不整脈などの重大な兆候が含まれている可能性がある。これらの時間的な信号の変化を確率過程（マルコフ連鎖や隠れマルコフモデル）として解析することで、異常を早期に検出し、患者の状態をリアルタイムでモニタリングすることができる。特にHMM（Hidden Markov Model）は、観測される信号の裏にある見えない状態の遷移構造を推定する手法として、脳波診断や予後予測に広く応用されている。

このように、フラクチュエーションの数学モデルは、ランダムな変動に見える現象の中に潜む構造や法則を捉えることを可能にし、高精度な予測・意思決定・異常検知を支える理論的基盤として、さまざまな実務分野で不可欠な役割を果たしている。

<量子力学的揺らぎのモデルの応用>

量子力学における揺らぎ、特にハイゼンベルクの不確定性原理が示すような状態の決定不能性や非決定論的性質は、直接的にビジネスで活用される機会は少ないものの、その理論的・哲学的な示唆は現代の先端技術や意思決定理論に多大な影響を与えている。特に、量子暗号通信、意思決定理論の拡張、そして最適化アルゴリズムの革新において、量子力学的な「揺らぎ」は新たな理論と技術の原動力となっている。

• 量子暗号通信においては、量子力学的な揺らぎが安全性の根拠そのものとなっている。量子の観測行為が状態を乱すという性質（不確定性原理）を利用することで、第三者による盗聴の有無を検出することが可能になり、これに基づいた量子鍵配送（QKD：Quantum Key Distribution）は、盗聴の痕跡を検出可能な絶対的安全性を実現する暗号技術として注目されており、すでに政府間通信や金融インフラの一部で実証が進んでいる。
• 意思決定理論の分野でも、量子力学的揺らぎの概念が新たな思考枠組みを提供している。従来のゲーム理論や合理的意思決定モデルは、プレイヤーの選好や行動が確率的に定まると仮定していたが、これに対し「量子ゲーム理論」では、プレイヤーの戦略が量子状態のように重ね合わせ可能であり、干渉効果が現れることを前提にしている。このような理論は、曖昧な選択肢の中で意思決定を行う人間の直感的な行動や、不確定な環境下での戦略最適化に対する新たな視座を提供する。
• 最適化アルゴリズムの分野では、量子の「複数状態の同時存在（重ね合わせ）」を利用することで、従来のコンピュータでは計算困難だった問題に対するブレークスルーが期待されている。特に量子アニーリングという手法では、最適化問題を量子力学的な揺らぎの中で解き、エネルギー的に最も安定な解（最適解）を見つけ出す。実際にD-Wave社などが商用化を進めており、物流、金融、医薬品開発、材料設計などの分野で膨大な組合せの中から効率よく最適解を探索する技術として注目を集めている。

このように、量子力学的な揺らぎは、物理の世界にとどまらず、情報の安全性、意思決定の合理性、そして計算の効率性といった現代社会の基盤に深く関わる領域で応用的価値を持ちつつある。

参考図書

以下に、「揺らぎ」とさの活用に関連する参考図書を述べる。

哲学的意味（存在論・生成・自然哲学・東洋思想）

• 『存在と時間（Sein und Zeit）』｜マルティン・ハイデッガー
  　「存在の揺らぎ」を主題に、固定化できない存在の現れ方を詩的に哲学化。

• 『確実性の終焉』｜イリヤ・プリゴジン
  　自然科学と哲学の架橋として、揺らぎが新たな秩序と時間性を生むことを論じる。

• 『森のバロック』｜中沢新一
  　「あわい」や「ゆらぎ」を通して、日本の自然観・霊性・知の構造を探究。

• 『差異と反復』｜ジル・ドゥルーズ
  　存在は連続でも離散でもなく、揺らぎの中で生成するとする生成哲学の大著。

• Buddhism without Beliefs: A Contemporary Guide to Awakening

• 『道徳の系譜』｜フリードリヒ・ニーチェ
  　揺らぎを「力の表現」と捉え、生成と崩壊のなかに生の本質を見る哲学。

物理的意味（熱・量子・統計力学・宇宙論）

• 『Physical Kinetics』
  　熱揺らぎ、拡散、ブラウン運動、散逸構造などを扱う理論物理の名著。

• 『Quantum Field Theory in a Nutshell』｜A. Zee
  　量子揺らぎやカシミール効果などを直感的かつ数式と図で分かりやすく解説。

• 『The End of Certainty（確実性の終焉）』｜Ilya Prigogine
  　決定論の破綻と揺らぎを創造の源とする視点から自然を読み直す。

• 『The Inflationary Universe』｜Alan Guth
  　宇宙初期の量子揺らぎがどのように銀河を生んだかを丁寧に解説。

• 『Noise』｜Bart Kosko
  　熱雑音、量子ノイズ、情報理論、知覚といった多様な揺らぎを網羅した教養書。

数学的意味（確率・統計・カオス・数理モデル）

• 『An Introduction to Probability Theory and Its Applications 』｜William Feller
  　確率論の古典的名著。分散や確率過程など揺らぎの基礎を体系的に解説。

• 『Introduction to Stochastic Processes』｜Gregory Lawler
  　マルコフ連鎖やWiener過程など、時間的揺らぎのモデル化を学べる。

• 『Chaos: Making a New Science』｜James Gleick
  　カオス理論入門書。初期条件の揺らぎがシステム全体に与える影響を直感的に解説。

• 『Statistical Mechanics』｜R.K. Pathria
  　統計力学的手法により、ミクロな揺らぎとマクロな秩序の関係を数理的に扱う。

総括：関心別おすすめの入口書

• 数学的モデルに触れたい方へ
  　→『Chaos』 / 『Introduction to Stochastic Processes』

• 物理学的直感を得たい方へ
  　→『The End of Certainty』 / 『Quantum Field Theory in a Nutshell』

• 哲学的世界観を深めたい方へ
  　→『存在と時間』 / 『森のバロック』 / 『差異と反復』