線形モデルと非線形モデルとその使い分け

線形モデルと非線形モデル

線形モデルと非線形モデルは、入力と出力の関係性の違いを基準に区別されるものとなる。

線形モデルは、入力と出力の関係が「一直線」または「平面」で表せる単純な構造を持ち、具体的には、y = a₁x₁ + a₂x₂ + ... + aₙxₙ + b のように、変数が一次式（足し算と掛け算のみ）で構成される。このため、計算が比較的単純で高速に処理でき、結果の解釈も容易でとなる。

代表的な例としては、線形回帰、ロジスティック回帰、SVM（線形カーネル）などがあり、こうしたモデルは過学習しにくいという利点があるが、複雑な関係性や非直線的なデータ構造を表現するのは難しいという欠点がある。

線形モデルの具体的な例として、家の価格を予測するモデルでは、以下のようになる。

価格 = 500万円 × 間取り + 1000万円 × 駅からの距離 + 定数項

一方、非線形モデルは、y = sin(x)、y = x²、y = e^x のように、入力と出力の関係が曲線・指数・周期など複雑なパターンで表されるもので、これにより、より柔軟に現実世界の複雑なデータを捉えることが可能となっている。

代表例としては、ニューラルネットワーク、決定木、非線形カーネルSVMなどがある。ただし、非線形モデルは計算が複雑で負荷が高くなる傾向があり、パラメータの調整も難しく、適切に扱わないと過学習に陥りやすいというデメリットがある。

非線形モデルの具体的な例として、例えば、人口増加のモデルで以下のように表されるものや

人口 = 初期値 × e^(成長率 × 時間)

以下のような入力の変化に対して出力が曲線的、周期的に変わるモデルがある。

y = sin(x)

分野別の線形モデルと非線形モデルの例

線形モデルと非線形モデルの違いは、機械学習、統計学、物理学といった分野ごとに具体的な形で現れる。以下に、それらの各分野における「線形モデルと非線形モデル」の具体的な違い・活用イメージについて述べる。

• 機械学習:

線形回帰やロジスティック回帰、SVM（サポートベクターマシン）の線形カーネルなどが代表的な線形モデルであり、。これらは入力と出力の関係が単純な直線や平面で表現できる場合に効果的なものとなっている。

線形モデルは、説明変数（特徴量）の加重平均で出力を決める形となるため、シンプルで解釈性が高いという特徴がある。

一方、ニューラルネットワークや決定木、非線形カーネルを用いたSVM（特にRBFカーネル）といった非線形モデルは、より複雑で非直線的なデータ構造を捉えることが可能なもので、これにより、画像認識や自然言語処理のような高度なパターン認識に応用されている。

非線形モデルは、複雑なパターン、非直線的な関係を学習可能で、より高い予測精度が出るという特徴を持つが、ブラックボックス化しやすいと言う課題がある。

• 統計学:

単回帰分析、重回帰分析、分散分析（ANOVA）などが線形モデルの代表例となる。これらは、説明変数と目的変数の関係が線形であると仮定した解析手法であり、仮説検定や因果推定に広く使われている。

統計学での線形モデルは、仮説検定や推定が容易、理論的背景が整っているという特徴がある。

一方、非線形モデルとしては、一般化加法モデル（GAM）や多項式回帰、非線形最小二乗法などがあり、複雑な曲線的関係や構造を柔軟にモデル化することが可能となっている。

統計学での非線形モデルは、現実のデータにより柔軟にフィットできるという特徴を持つが、モデル選択や推定が難しいという課題がある。

• 物理学:

フックの法則（バネの伸びと力の関係：F = kx）やオームの法則（電圧と電流の関係：V = IR）が線形モデルの典型例で、これらは、条件が限定的な範囲では非常によく成り立つ直線的な物理法則となっている。

物理学の線形モデルは、力や運動の基本法則で多用（ニュートン力学、電気回路）され、小さな変位や低速領域では線形近似が有効となる。

これに対し、現実の物理現象には非線形性が多く存在している。例えば、相対性理論における時間の遅れや、カオス系、非線形振動、乱流（タービュランス）などは非線形モデルでしか表現できず、これらは通常の線形近似では捉えきれない複雑な挙動を示している。

物理学非線形モデルとしては、強い重力場での相対論的補正、非線形光学、カオス理論、乱流など等が挙げられる。これらは、シンプルな解析が困難であり、数値シミュレーションを多用することで解析可能となる。

線形モデルと非線形モデルの使い分け

線形モデルと非線形モデルには、以下のようにそれぞれの特徴と実務上の使い方に明確な違いがある。

• 計算や解釈の側面:

線形モデルは構造が単純で計算が比較的容易であり、理論的な安定性も高いというメリットがある。これにより、結果の意味や因果関係を直感的に理解しやすく、学術研究や実務の場面で広く活用されている。

非線形モデルは複雑な構造を持つため、計算自体が難しく、理論的な解析や結果の解釈も簡単ではない。その分、より高度な専門知識や数値解析の技術が求められる。

• 表現力の違い:

線形モデルは入力と出力の関係を直線的に捉えるため、モデルとして表現できる範囲が限定的となる。

非線形モデルは柔軟性が高く、曲線や指数関数、周期的なパターンなど、現実世界の複雑な現象を表現することができる。そのため、より正確な予測や複雑なデータ構造の分析が可能になる。

• 実務の進め方の観点:

多くの場合、最初にシンプルな線形モデルから試すのが一般的。これにより、基本的な傾向や構造を把握しやすく、過剰なモデル構築の手間を省ける。その上で、データの構造が単純な線形モデルでは十分に表現できないと判断された場合に、必要に応じて非線形モデルを導入するという流れが多く採られている。

線形モデルと非線形モデルの使い分け – シンプルな例

以下に線形モデルと非線形モデルの使い分けの具体例として、マーケティング施策と売上予測の例について述べる。

ステップ1：線形モデルでシンプルに試す

目的: 広告費と売上の関係を予測したい

データ例

売上 = a × 広告費 + b

ステップ2：モデルの限界を確認

さらに、データを増やすと、次のような傾向が判明した。

ステップ3：非線形モデルへ移行

非線形モデルの選択例

飽和効果を表現するために、以下のような指数関数的な減衰モデルを仮定する。

売上 = 最大売上 × (1 - e^(-k × 広告費))

指数関数は、指数のパラメータに掛けられる変数が正である成長型の場合は、時間や入力が増えるにつれ、加速度的に変化する関数となるが、指数のパラメータに掛けられる変数が負である減衰型の場合は、急速に減少し飽和する関数になる特徴を持つ。

非線形モデルの特徴

非線形モデルの大きな特徴は、広告施策のような現実的な「頭打ち効果」を的確に再現できる点であり、上記のような、広告費を増やすことで最初は売上が大きく伸びるものの、一定の投入額を超えるとその効果が徐々に鈍化し、最終的には売上の増加がほとんど見られなくなるといった現象をモデル内で表現することが可能となる。

さらに、非線形モデルを用いることで、広告費の投入効果が飽和するポイントを定量的に把握でき、無駄な費用を抑えつつ最大限の成果を引き出す最適な広告費の投入額も推定することができる。

線形モデルと非線形モデルの使い分け – 説明可能性

以下にもう一つの例として、説明可能性の観点からの線形モデルと非線形モデルの使い分けについて述べる。

例えば、売上と広告費の関係を以下のような線形モデルで表すと以下のようになったとする。

y = 2 × 広告費 + 3 × SNS投稿数 + 5

このモデルでは、予測精度は高くなるが、入力がどう出力に影響したかはブラックボックス的で、特定の入力変更がどの程度売上に影響するかを単純に説明できず、意思決定者にとっては使い方が限定されてしまう。

このような課題に対応するために、まずは非線形モデルで解析した後、その説明性を高めるための手法（SHAP、LIME、特徴量重要度可視化）を適用するアプローチが取られている。

SHAPやLIMEは、特徴量重要度の可視化を行うことができ、それにより、非線形モデルに線形モデルのような「説明性」を後付けすることが可能であり、これらの説明性手法は「線形モデルのメリットを非線形モデルに近づける」役割を持っているということもできる。

y = a × x + b

x → [x, x², x³, ...]