集合論の概要
集合論とは、数学の基礎的な分野のひとつであり、集合という概念を扱うものとなる。集合は、要素の集まりであり、数学的には、特定の条件を満たすオブジェクトの集まりを指す。
集合は、様々な形で表現されることがある。たとえば、{}で囲まれた要素の列をリストアップする方法、または、特定の条件を満たす要素をリストアップする方法などがある。たとえば、{1, 2, 3, 4}という集合は、1, 2, 3, 4という要素から成る集まりを表し、また、{x | xは自然数かつxが偶数}という集合は、自然数でかつ偶数である要素から成る集まりを表す。
集合論においては、主に以下のような概念が扱われる。
- 要素：集合を構成する個々のオブジェクトを指す。
- 包含関係：ある集合が他の集合の要素を全て含むことを表す。たとえば、{1, 2}は{1, 2, 3}の部分集合となる。
- 和集合：2つ以上の集合に含まれる要素を全て集めた集合を表す。たとえば、{1, 2}と{2, 3}の和集合は{1, 2, 3}となる。
- 積集合：2つ以上の集合に共通する要素から成る集合を表す。たとえば、{1, 2}と{2, 3}の積集合は{2}となる。
- 差集合：ある集合から、別の集合に含まれる要素を除いた集合を表す。たとえば、{1, 2, 3}から{2, 3}を取り除いた差集合は{1}となる。
- 内包的記法：ある条件を満たす要素の集合を表す方法となる。たとえば、{x | xは自然数かつxが偶数}という集合は、自然数かつ偶数である要素から成る集まりを表す。
また集合論は、数学の他の分野においても重要な役割を果たす。たとえば、位相空間論や代数学、数学基礎論などの分野において、集合論の概念が必要となる。さらに、情報科学や哲学などの分野でも、集合論の概念が利用される。
まず最初の参考図書は「集合とは何か 初めて学ぶ人のために」。本書は集合論の入門的な図書となる。
「現代数学でどんな役割を果たしているのか？「集合」抜きに現代数学は展開できない。集合とはなにかという問題は、新しい集合の公理の探究という問題をはらんで、現代数学の最も深い問題といってよい。集合概念がもたらす、深遠な謎、集合論の中に潜むロマンチックな創造の精神、これらを数学の訓練を経ていない人々に説明した名著にカントールの評伝を追加して復刊！」
集合とは何か 初めて学ぶ人のために
第1章 立場の変換 翻訳語としての集合
memo
P(x) 性質Pを満たすものの集合の中にxが入っている
P(a) : Pとaを決めると、それず正しいか正しくないかが決まる
性質Pを満たすものの集まり: {x|P(x)}
aが集合{x|P(x)}に属する : a∈ {x|P(x)}
立場の変換
主語と述語
単純明快な論理の世界
論理的演算
翻訳語としての集合
共通部分と和集合
否定の翻訳
集合の差
全てと存在
∀と∃の翻訳
部分集合
空集合
第2章 天地創造 楽園追放
memo
ものの集まりの集合
ノード?
b∈{a1,a2,...an}=a1∨b=a2∨b・・∨b=an
性質を満たすものの集まり
エッジ?
A-{1,2,3・・・,N}のすべての部分集合
n=3のとき
(a1+b1)(a2+b2)(a3+b3)
a1,a2,a3を"1が入っている""2が入っている""3が入っているふとする
b1,b2,b3を"1が入っていない＂＂2が入っていない＂＂3が入っていない＂
a1a2a3は{1,2,3}
a1b2a3は{1,3}
a1a2b3は{1,2}
{1,2・・n}すべての部分集合
(a1+b1)(a2+b2)・・（an＋bn）
集合の濃度
集合AとBが同じ濃度である=AとBとの間に一対一対応がある
濃度=要素の数
自然数の集合と一対一対応があるとき「可付番」とか「加算」であるとかいう
積集合
集合Aのすべての部分集合全体からなる集合
創世記
者の始まり
集合の濃度
空集合と部分集合
部分集合の数
集合の濃度
積集合
カトンールの対角線論法
集合の世界
楽園追放
数学基礎論
第3章 公理的集合論 現代数学の基礎
memo
ツェルメロの集合論
関数
fがaからBへの関数とする
f:a→b
<x,y>∈f : fによってxがyに対応させられている
選択公理
どんな集合にも選択関数が存在する
フレンケルの置換公理
ZF集合論(ツェルメロ・フレンケル)
フォンノイマンの正則性の公理
BG集合論
ツェルメロの集合論
関数について
選択公理
フレンケルの置換公理
フォンノイマンの正則性の公理
公理的集合論
BG集合論
第4章 現代集合論 華麗なる展開
memo
コーエンの仕事
空間という単なる集合ではなく そこに色々な構造が入ったり その構成要素に色々な操作が定義されているものを考える
部分的にaを元とし、部分的にbを元とするものは?
異なるa,b,cを3つの空間として考える
[a∈u]=A
直観論理
量子論理
位相空間との関連
グロタンディク
カントールの集合論
連続体仮説
ゲーテルの構成的集合
コーエンの仕事
到達不能数
測度可能数
決定の公理
アラベスク
第5章 未来への招待 私の立場から
集合とは何か
連続体について
カントール
生い立ち
カントールの集合論
幻滅
再び数学へ
集合論の矛盾について
memo
集合(set)とは
集合とは、いくつかのものをひとまとめにして考えたものの集まり
「もの」を要素(element)
要素が集合に属していることを記号∈で表す
要素を列挙する方法をを「外延的記法」
条件で定義する書き方を「内包的記法」
集合とは何かを制限をかけて定義する方法 「公理的集合論(axiomatic set theory)」
例:ラッセルのパラドックスを成立させないための縛り
ツェルメロ=フレンケル(Zermero-Fraenkel)の公理(ZF)に 選択公理(C)を加えた公理系「ZFC公理系」が主流の集合論体系
ZFC公理に踏み込まない集合論「素朴集合論」
命題
それが真(true)であるか偽(false)であるかはっきりしている事柄
A ⇒ B
集合
B ⊂ A
A ∩ B
A ∪ B 和集合
A - B 差集合
Ac 補集合
直積集合
2つのものaとbを並べたもの(a,b)をaとbから作られた「順序対」と呼ぶ
A,Bを集合とする。a ∈ Aとb ∈Bから作られた順序対(a,b)全体からなる集合を AとBの「直積」または「直積集合」と呼び 「A X B」で表す
べき集合
集合Aの部分集合全ての集合をAの「べき集合(power set)」と呼ぶ
二項演算
整数の足し算は写像を用いて説明される
二項演算:「二つの数から新たな数を決定する規則」 を一般化した概念
μ:AxA →A:(x,y) → μ(x,y)
f(a, b) = a △ b : △ 二項演算の像を示す(任意の)記号
写像
写像
A,Bを集合とする。
Aの各元に対して、Bの元が１つ定まっているとき
この対応をAからBへの「写像(map)」という
f : A → B
A:定義域(domain)
B: 値域(range)
f : A → Bが定まるための必要条件
(1)任意のa ∈ Aに対してf(a)が定まる
ただしa∈Aの記述の仕方が一意的でない場合は、どのような記述に対しても同じ元が対応しなければならない
(2) (1)で定まったf(a)はBの元である
合成写像
f :A → B, g :B → Cをそれぞれ写像とする
合成写像 g ⚪︎ f :A → C (a ↦ g( f(a)))
制限写像
写像 f :A → Bを考える
C ⊂ Aとする
c ∈ CはAの元でもあるので、f(c)∈Bが定まる
この時 写像 C → Bをfのそへの制限(制限写像)といい、f|Cと書く
全射
写像 f :A → Bを考える
C ⊂ Aに対して f(C) ={ F(c) | c ∈ C}とおく、これをfによるCの像(image)という
CはAの部分集合であって元ではないので、今までのf(C)とは異なる
特にC=Aとした時f(A)をfの像(image)といい、Imfとも書く
Imf =Bが成り立つfを全射(surjection)という
単射
写像 f : A → Bを考える
b ∈ Bに対して f-1(b) = { a ∈ A | f(a) =b}とおいて、これをfのよるbの「逆像(inverse image)」という
C ⊂ Bに対して f-1(C) ={ a ∈ A | f(a) ∈ C}をfによるCの逆像(inverse image)という
任意のb ∈ Bに対してf-1(b)が高々1の原子か含まない時、fを単射(injection)と呼ぶ
全単射(bijection)
Fが全射かつ単射であること
関係
同じ集合に属する2つの元の「関係」
関係
Aを集合とする
直積集合A x Aの部分集合Rを、 A上の「二項関係(binary relation)」 または単に「関係(relation)」と呼ぶ
A上に関係Rが定められていることを明示したいときには (A, R)と書く
Rを関係とする時(x,y) ∈ Rであることを xRyとも書く
順序関係
集合A上の関係⪯が「順序関係(order)」または単に「順序」であるとは
(1) 「反射律」 任意のx ∈ Aに対して x ⪯ x
(2) 「推移律」 x ⪯ y, y ⪯ zならば x ⪯ z
(3)「非対称律」 x ⪯ y, y ⪯ x ならば x = y
(A, ⪯)を「順序集合(order set)」と呼ぶ
全順序(total order)
順序集合(A, ⪯)の任意の2つの要素x,y ∈Aに対して、 x⪯yまたはy⪯xが成り立つとき、 この順序を「全順序(total order)」と呼び、 この順序集合を「全順序集合(totally order set)」と呼ぶ
半順序(partial order)
単なる順序を全順序と区別したいときは「半順序(partial order)」と呼ぶ
順序部分集合
順序集合(A, ⪯)を考える
B ⊂ Aに対して、Bの順序をAで定めれば、Bはまた順序集合になる
xをAの極大元
順序集合(A, ⪯)の元xに対して、x⪯yならばx=yが成り立つとき
xを Aの極小元
順序集合(A, ⪯)の元xに対して、y⪯xならばx=yが成り立つとき
xをAの最大元
任意のy∈Aに対して、y⪯xであるとき
xをAの最小元
任意のy∈Aに対して、x⪯yであるとき
xをBの上界
順序集合(A,≼)の部分集合Bに対してx∈Aがy≼x(∀y∈B)を満たすとき、 x を B の上界という
Bは上に有界である
B の上界が存在するとき
集合 A 上の順序 ≼ が整列順序 (well order)
任意の 空でない部分集合に最小元が存在すること
辞書式順序 (lexicographic order)
X = N × N に次のよ う に順序を 定める 。
(1) a0 =a1 ならばb0 ≤b1 のとき (a0,b0)≤(a1,b1)である。
(2) a0 ̸=a1 のときa0 ≤a1 ならば(a0,b0)≤(a1,b1)である。
例
やや分かりにくいと思うので具体的に書くと以下のようになる。 (a0,b0)≤(a1,b1)か つ (a0,b0)̸=(a1,b1)であることを簡単のために <とかく。 (1, 1) < (1, 2) < (1, 3) < · · · < (2, 1) < (2, 2) < (2, 3) < · · · < (3, 1) < · · · 辞書の語順と似ていることも分かるだろう。
帰納的順序 (inductive order)
4.2.19 (帰納的順序). 集合 A 上の順序 ≼ が帰納的順序 (inductiveorder) である とは Aの任意の空でない全順序部分集合が上に有界であることをいう。 このとき A を 帰納的順序集合 (inductively ordered set) と いう。
数学的帰納法と 超限帰納法
例
数学的帰納法
自然数 n に関する命題は (1) 1のとき正しい。 (2) n よ り 小さ いすべての自然数に対し て正し ければ n についても 正し い。 が成り立てば、 任意のnに対しても正しい。 (2)は(2’) n−1に対して正しければnについても正しい。 と いう 形で考えら れる こ と も ある 。
超限帰納法
これは整列集合に一般化される。 すなわち A を整列集合とするとき a ∈ A に関する 命題は (1) A の最小元に対し て正し い。 (2) この順序に関して aより小さいすべて元に対して正しければaについても正しい。 が成り 立つとき、 任意の a に対しても正しい。 これは整列集合には無限の狭義単調減少 列が存在しないことによる。 すなわち a ∈ A を決めると、 狭義単調減少列は有限回で 最小元に達する。 したがって命題は有限回の手続きで証明されることになる。 数学的帰 納法を 整列集合に 一般化し た も のを 超限帰納法と いう 。
同値関係と 類別
同値関係
集合 A 上の関係 ∼ が同値関係である と は、 以下の条件を 満た すこととする
(1) [反射律] 任意の x ∈ A に 対し て x ∼ x
(2) [対称律] x ∼ y な ら ば y ∼ x
(3)[推移律]x∼y, y∼zならばx∼z
同値関係は「 同 じ」 という概念を数学的に定式化したもの
(1) 勝手な要素は自分自身と「 同じ」 である。 (2) x と y が「 同じ」 ならば y と x も「 同じ」 である。 (3) x と y が「 同じ」 で y と z が「 同じ」 ならばx と z は「 同じ」 である。
整数の合同
難しいこと
集合の濃度
集合 S が有限集合である場合、 S に含まれる要素の数を S の濃度
選択公理、 整列可能定理、 Zorn の補題
次に紹介する参考図書は「集合論入門」。
本書も集合論の入門書となる。
「ものの集まり」や「連続」という素朴な概念。ここから広がる世界は実に深遠だ。19世紀にカントールが集合論の基礎を築くと、ラッセルを筆頭に様々な数学者がパラドックスや難題を発見した。それから現在に至るまで集合論は大発展を遂げ、今やその基礎概念は現代数学のみならず、論理を駆使する哲学にも欠くことができない。本書は古典的集合論の基礎を「集合の代数」「濃度」「順序数」の三部に分けて解説。コンパクトながら懇切丁寧な叙述で独習用としても最適。『数学序説』の著者による、定評のある入門書。」
集合論入門 Math＆Science 赤攝也
文庫版に際して
本書はゲオルク・カントールの創始した「古典的」な集合論の詳細な解説書
現在、研究されつつある「公理的」な集合論にはほんの少ししか触れない
本書の存在意義
現代数学の理論はいくつかの公理の集まり、 すなわち公理系を出発点とし、 正しい論理に従って展開されるものでなければならない
集合論も例外ではない
現代の集合論の公理系はいくつかあるが
その代表的なものから、どのようなことを論理的に導くか
それが古典的集合論の諸定理になる
公理的集合論を勉強ないし研究しようという場合
古典的集合論の正しい知識を書くことはできない
古典的集合論と公理的集合論との違いは
ユークリッドの「原論」の幾何学とヒルベルトの「幾何学基礎論」から出発する幾何学との違いと同じ
体裁は違うが内容まで違うわけではない
数学の他の分野の勉強や研究のためには、古典的集合論だけで十分間に合う
はしがき
集合論は、数学の最も深い基礎に横たわるところの重要な分野である
てびき
本書は数学の一部門である集合論という学問への入門書である
集合論とはどういう学問なのか?
何個あるかわからないが、いくつかのコップと、いくつかのコップ皿がある
そのコップを一つずつ別のコップ皿の上に乗せていく
最後にコップも皿も余らなければ、同じ数だあったと結論する
何らかの二つのグループがあったときに、 一方のグループのものを他方のグループのものに 一つずつ付き合わせて過不足がなかった場合
両グループは必然的に同じ数だけのメンバーを含んでいる
これを仮に「第一の原則」とする
何らかのものあるグループの一部をなすグループは、 元のグループよりもメンバーが少ない
全体は部分よりも大きい
これを「第二の原則」とする
上記の2つの原則の問題点
偶数2,4,6..は自然数1,2,3..の一部分
第１編 集合の代数
Ⅰ 集合の概念
1 集合とは何か
2 集合と元
3 集合の表現
4 部分集合
Ⅱ 集合の演算
1 集合の差
2 空集合
3 補集合
4 和集合
5 共通部分
6 称号演算の間の関係
7 集合族
Ⅲ 関数と直積
1 関数とは何か
2 関数を巡る諸概念
3 合成関数
4 一対一の対応
5 直積
6 関数のグラフ
第２編 濃度
Ⅰ 濃度の概念
1 濃度とは何か
2 濃度の定義
3 可付番集合
4 可付番でない集合
Ⅱ 濃度の大小
1 濃度の代償
2 ベルシュタインの定理
3 巾集合の濃度
Ⅲ 濃度の和
1 濃度の和の定義と性質
2 集合系
3 濃度の和の概念の分析
4 濃度の和の拡張
Ⅳ 濃度の積
1 濃度の積の定義と性質
2 和と積の関係
3 濃度の積の拡張
Ⅴ 濃度の巾
1 巾の定義
2 巾の性質
第３編 順序数
Ⅰ 順序
1 順序
2 順序集合
3 同型
4 順序型
Ⅱ 整列集合
1 整列集合
2 整列集合の比較
Ⅲ 順序数
1 順序数
2 順序数の大小
3 順序数の和
4 順序数の積
5 超限帰納法
6 順序数の巾の定義
7 巾の性質
8 ε-数
9 順序数と濃度の関係
Ⅳ 整列可能定理
1 選択公理
2 順序可能定理
3 順序可能定理の応用
結び
付録
1 集合と論理
2 ツォルンの補題
3 集合論の公理
コメント
[…] 集合論の概要と参考図書 […]
[…] 集合とは何か 初めて学ぶ人のために 読書メモ […]
[…] これらの公理的集合論に関しては”集合論の概要と参考図書“や”論理学をつくる 第3部-論理をもう一つの目で見る 読書メモ“等を参照のこと。 […]
[…] 圏論は”集合論の概要と参考図書“で述べている集合論や、”論理学をつくる 第1部論理学をはじめる 読書メモ“等で述べている論理学、さらに”構造とアルゴリズムと […]
[…] また、論理学を学ぶための基礎的な理論としては”集合論の概要と参考図書“に記載している集合論がある。 […]
[…] 論理学のベースとなっている数学的理論としては、”集合論の概要と参考図書“に記載している集合論、”構造とアルゴリズムと関数“で述べている代数学、”形式言語と数理 […]
[…] このように普通に使っていた数学のシンボルの世界も、前提となる公理や定理が異なる世界では異なるが生じることとなる。”形式言語と数理論理学“で述べた形式論理学や数理論理学は、この抽象化されたシンボルの世界をどう扱うかの学問となり、ものの持つ意味へのアプローチとなる。さらに”集合論の概要と参考図書“で述べていた集合論、あるいは”論理学をつくる 第1部論理学をはじめる 読書メモ“等で述べている論理学もこれらを考える上での基礎となる。 […]