人間と社会を変えた9つの確率・統計物語　読書メモ

人間と社会を変えた9つの確率・統計物語　読書メモ

人間と社会を変えた9つの確率・統計物語より

「パスカル、フェルマーからフォン・ノイマン、ケインズまで。「偶然」を測ることで不確実な未来を予測することに挑んだ確率・統計学のパイオニアたちの発想を、彼らと著者との仮想対話形式でわかりやすく紹介します。」

第1章 確率は賭けから始まった -パスカル・フェルマー
第2章 当たりやすさは測定可能 – ヤコブ・ベルヌーイ

推測術
数え上げ技術
起きる事柄をすべて順列・組み合わせとして列挙できれば推測できる
段重ねでまとめて計算
ベルヌーイ分布
確率pで1を、確率q=1-pで0を取る分布
ベルヌーイ試行
「AかBのどちらかしか起こらない」
Yesかnoのどちらかしか起こらない
表と裏のどちらかしか起こらない
ベルヌーイ過程
独立していて確率分布が同じなベルヌーイ試行

第3章 確率論を発展させた面白い問題 – ド・モアブル

「偶然の理論」
偶然は確率が小さいこととイコールではない
確率で偶然を測る
(1-1/n)nは0.36789・・,(1+1/n)nは2.7182で自然対数の底となる
包除原理
二項分布
成功や失敗のいずれかであるn回の独立な試行を行った時の成功で表される離散確率分布
各試行における成功確率pは一定(ベルヌーイ試行)
二項分布の近似
正規分布
二項分布が一定の条件下で正規分布に近づく
ポアソン分布

第4章 原因と結果の法則 – ベイズ

偶然はどう決められるのか?
確率のわからない事象が起こる、あるいは起こらない回数がそれぞれ与えられる
「事象がa回起こり、b回起こらなかった」もとで確率(x)がx1<x<x2の範囲にあるという条件付き確率を考える
P(x1<x<x2|a回起こりb回起こらなかった)=∮xa(1-x)bdx/∮xa(1-x)bdx
面積でのアプローチ
確率
ランダムに球を落とす、その位置をx
その後の人がxまでに落としたら事象Mが起こり、外れたら起こらない
N個の球を落とし、a個がMでb個がMでないとする
aとbだけ分かっていてxがどこかを分かる
重みをつけることができる
ベイズの定理
H1,H2・・,Hkをk通りの互いに排他的な原因
P(Hi)をHiの事前確率
P(B|Hi)をHiが起こった条件のもとでの結果Bの確率
Bかせ起った条件のもとでその原因がHiである確率(事後確率)P(Hi|B)は
P(Hi|B)=P(Hi)P(B|Hi)/(P(H1)P(B|H1)+P(H2)P(H2)P(B|H2)・・・P(Hk)P(B|Hk))
例題
H1,H2,H3の3つの袋に赤い球と白い球がそれぞれ3:1,1:1,1:2の割合で入っいる時に赤い球が抜かれた時にそれぞれの袋の確率は
Hn:つぼHnから取り出す、R:赤玉を取り出す
P(H1|R)=P(H1)P(R|H1)/P(R)
P(R)=P(H1)P(R|H1)/P(H1|R)=1/3×3/4+1/3×1/2+1/3×1/3=19/36
P(H1|R)=9/19, P(H2|R)6/19, P(H3|R)=4/19
ベイズ定理の一般化
事前の確率P(Hi)は任意でよく、しばしば等確率を採用する
ベイズの定理の分母は煩雑だが共通であり省力しても良い

第5章 古典確率論の完成と新しい出発 – ラプラス
第6章 天文学者も驚いたデータの予測 – ガウス
第7章 統計理論を築いた人たち – ケトレー・ゴルトン
第8章 現代確率論の誕生 – コルモゴロフ
第9章 相手を知らずとも百戦危うくない「戦略」とは フォンノイマン、ワルド、サベジ、ケインズ