ベイズ構造時系列モデルの概要と適用事例及び実装例について

ベイズ構造時系列モデルについて

ベイズ構造時系列モデル(Bayesian Structural Time Series Model; BSTS)は、時間とともに変化する現象をモデル化する統計モデルの一種であり、予測や因果推論を目的として利用されるものとなる。

BSTSは、時系列データの傾向(trend)、周期性(seasonality)、イベント(event)、および外部変数(exogenous variable)の影響をモデル化することができる。BSTSでは、データ生成過程を確率的に表現するため、確率モデルを構築し、モデルのパラメータはベイズ統計学に基づく推定法によって求められる。

BSTSは、経済予測やウェブトラフィックの予測、セールスフォースの予測など広範なアプリケーションに使用されている。

ベイズ構造時系列モデルに用いられるアルゴリズムについて

ベイズ構造時系列モデルにはさまざまなアルゴリズムが存在する。以下に代表的なアルゴリズムについて述べる。

• カルマンフィルターとカルマン平滑化: “状態空間モデルの概要とRとPythonを用いた時系列データの解析の実装例“でも述べたカルマンフィルターは、線形なダイナミクスを持つシステムにおける時系列データのフィルタリングや予測を行うためのアルゴリズムであり、過去の全ての観測値を用いてフィルタリングと平滑化を同時に行う手法となる。
• ダイナミック線形モデル(DLM): “ダイナミック線形モデル(DLM)の概要とアルゴリズム及び実装例“で述べているDLMは、線形なダイナミクスを持つ時系列データに対してベイズ推論を行うためのモデルであり、DLMはカルマンフィルターやカルマン平滑化を基にしており、状態空間モデルとも呼ばれる。
• ガウス過程: “ノンパラメトリックベイズとガウス過程について“でも述べているガウス過程は、非線形な時系列データに対してもベイズ推論を行うための方法となる。ガウス過程を用いることで、データの不確かさをモデル化し、予測分布を推定することができる。
• ヒルベルトワンド変換(Hilbert-Wang Transform): “ヒルベルトワンド変換の概要とアルゴリズム及び実装例について“で述べているヒルベルトワンド変換は、非線形な時系列データの解析に用いられる手法となる。この手法では、信号を解析的信号と共分散解析を行うことで、時間的な特性を抽出する。
• ノンパラメトリックベイズモデル: “ノンパラメトリックベイズとガウス過程について“でも述べているノンパラメトリックベイズモデルは、事前分布を事前に指定せずに、データからモデルを構築する方法となる。この手法としては、”ディリクレ過程（Dirichlet Process, DP）の概要とアルゴリズム及び実装例について“で述べているディリクレ過程や”ディリクレ過程混合モデル（Dirichlet Process Mixture Model, DPMM）の概要とアルゴリズム及び実装例について“で述べているディリクレ過程混合モデルなどがこれに該当する。

これらのアルゴリズムは、時系列データの特性や問題に応じて選択され、ベイズ構造時系列モデルは、データの不確かさやモデルの複雑さを適切に取り扱いながら、信頼性のある予測や解析を行うための重要な手法となる。

ベイズ構造時系列モデルを実装する手順について

ベイズ構造時系列モデルを実装する手順は、モデルの複雑さや使用するアルゴリズムによって異なることがあるが、一般的なステップとしては以下の様になる。ここでは、簡単な例としてダイナミック線形モデル(DLM)を実装する場合を示す。

1. データの準備: 最初に、解析したい時系列データを収集し、必要な前処理を行う。これにはデータの平滑化、欠損値の処理、正規化などが含まれる。
2. モデルの設計: 解析したい問題に適したベイズ構造時系列モデルを選択する。ダイナミック線形モデル(DLM)の場合、状態方程式(線形ダイナミクス)と観測方程式(観測モデル)を設計する必要がある。
3. 事前分布の設定: ベイズ統計では、事前分布を設定することが重要となる。データとモデルを吟味し、パラメータの事前分布を選択して、ハイパーパラメータを設定する。これにより、データに対する事前知識をモデルに組み込むことができる。
4. 推論アルゴリズムの選択: ベイズモデルでは、事後分布を推定するための推論アルゴリズムが必要となる。それには、”マルコフ連鎖モンテカルロ法の概要と実装について“で述べられているマルコフチェインモンテカルロ(MCMC)法、”変分ベイズ学習の概要と各種実装“で述べられている変分推論、”時系列データでの粒子フィルタの実装“で述べられている粒子フィルタなどがあり、適切なアルゴリズムを選択する。
5. モデルのフィッティング: 選択した推論アルゴリズムを用いて、データに対する事後分布を推定する。これにより、モデルのパラメータや状態の推定値を得ることができる。
6. モデルの評価: 推定されたモデルを評価し、モデルの適合度や予測性能を評価する。モデルの適合度やパラメータの信頼性を確認するために、モデル診断やサンプリングの収束の確認を行う。
7. 予測の実施: 推定されたモデルを用いて、未来の時系列データの予測を行う。これにより、モデルの予測性能を実際のデータと比較することができる。
8. 結果の解釈と報告: 得られた結果を解釈し、適切な形で出力し、モデルのパラメータや予測結果に対する意味解釈を行って、ビジネス上の意思決定などに活用する。

ベイズ構造時系列モデルに用いられるライブラリやプラットフォームについて

以下に、ベイズ構造時系列モデルを実装する際に利用できるライブラリやプラットフォームについて述べる。

• Stan: Stanは確率的プログラミング言語であり、ベイズ構造時系列モデルを含むさまざまなベイズ統計モデルを記述・推定するための強力なツールとなる。Stanはハミルトニアンモンテカルロ（HMC）を用いたサンプリングを行い、高度なベイズ推論を可能にしている。
• PyMC3: PyMC3はPythonベースのライブラリで、ベイズモデルの構築と推定を行うのに使用される。PyMC3はHMCやノンパラメトリックベイズモデルなどをサポートしており、比較的直感的な記法を用いてモデルを定義できる。
• TensorFlow Probability: TensorFlow Probabilityは、Googleが開発しているライブラリで、確率的モデリングとベイジアン推論をサポートしている。TensorFlowのエコシステムに統合されており、ニューラルネットワークと統計モデリングを組み合わせることも可能となる。
• Edward: EdwardもGoogleが開発しているライブラリで、確率的グラフィカルモデルとベイズ統計をサポートしている。EdwardはPyMC3やStanと同様に、モデルの構築と推定を容易に行えるよう設計されている。
• JAGS: JAGS（Just Another Gibbs Sampler）は、マルコフ連鎖モンテカルロ（MCMC）法を用いてベイズモデルの推定を行うためのプログラムとなる。RやPythonからJAGSを呼び出して使用することができる。
• Anglican: Anglicanは、確率モデリングと推論を容易に行うための統計的プログラミング言語であり、Clojureをベースとした確率プログラミング言語となる。Anglicanを使用することで、Clojureの強力なプログラミング機能とAnglicanの確率プログラミング機能を組み合わせることができ、確率モデルの記述や推論アルゴリズムの実装が容易になる。

ベイズ構造時系列モデルの適用事例

ベイズ構造時系列モデルは、さまざまな領域で幅広く適用されている。以下にいくつかの適用事例について述べる。

• ファイナンス: 株価や為替レートの予測、リスク管理、ポートフォリオ最適化などの分野でベイズ構造時系列モデルが使用されている。これらは、ダイナミックな市場変動のモデリングや未来の価格予測に役立つ。
• 気象予測: 気象データの時系列解析において、ベイズ構造時系列モデルは天候予測や気象パターンの分析に利用されている。これらは、降水量、気温、風速などの変動をモデル化し、精密な予測を行うのに役立つ。
• 医療データ解析: 患者の健康状態のモニタリングや疾患の進行予測、薬物効果の評価などにベイズ構造時系列モデルが応用されている。これらは、時間経過に伴う生体データの変動を捉えるために使用されている。
• マーケティング分析: 販売データや消費者行動データの分析において、需要予測やキャンペーン効果の評価などにベイズ構造時系列モデルが活用されている。これを用いることで、販売のトレンドや季節性を捉えて予測することが可能となる。
• メディア分析: ベイズ構造時系列モデルは、メディア分析において、視聴率の予測や、広告キャンペーンの効果測定などに用いられている。これは例えば、テレビ番組の視聴率を予測するために、視聴者の属性や過去の視聴履歴などを考慮したモデルを構築するようなものがある。
• トラフィック予測: 交通量データや移動パターンの解析において、道路渋滞の予測や公共交通機関の運行計画にベイズ構造時系列モデルが使われている。これを用いることで交通のピークや渋滞の発生予測が可能となる。
• エネルギー予測: 電力消費量や再生可能エネルギー発電の変動をモデル化して、電力需給の予測やエネルギー政策の評価に利用されている。これは、需要と供給のバランスを予測するのに役立つ。
• IoT分析: ベイズ構造時系列モデルは、IoT分析において、センサーデータの解析や異常検知などに用いられている。これは例えば、温度や湿度などのセンサーデータを用いて、空調システムの効率的な制御を行うことようなものがある。

なお、ベイズ構造時系列モデルは、特に時間的に因果関係が重要な問題に対して有効であると考えられ、応用されている。

ベイズ構造時系列モデルの各種言語での実装

<python>

• pymc3

ベイズ構造時系列モデルのPythonによる実装としては、pymc3というライブラリを用いることが一般的となる。pymc3は、Pythonでベイズ統計モデリングを実行するためのオープンソースライブラリで、theanoまたはtensorflowをバックエンドとして使用している。以下は、ベイズ構造時系列モデルをpymc3で実装する例となる。

import numpy as np
import pandas as pd
import pymc3 as pm

# データの読み込み
data = pd.read_csv('data.csv')

# モデルの定義
with pm.Model() as model:
    # 事前分布の設定
    mu_alpha = pm.Normal('mu_alpha', mu=0, sd=10)
    sigma_alpha = pm.Exponential('sigma_alpha', lam=1)
    mu_beta = pm.Normal('mu_beta', mu=0, sd=10)
    sigma_beta = pm.Exponential('sigma_beta', lam=1)

    # パラメータの定義
    alpha = pm.GaussianRandomWalk('alpha', mu=mu_alpha, sd=sigma_alpha, shape=len(data))
    beta = pm.GaussianRandomWalk('beta', mu=mu_beta, sd=sigma_beta, shape=len(data))

    # モデルの定義
    mu = alpha + beta * data['x']
    sigma = pm.Exponential('sigma', lam=1)
    y = pm.Normal('y', mu=mu, sd=sigma, observed=data['y'])

    # サンプリング
    trace = pm.sample(1000, tune=1000, chains=2)

この例では、pymc3を用いて、ベイズ構造時系列モデルを定義している。データはdata.csvファイルから読み込まれ、alphaとbetaはそれぞれ”ランダムウォークの概要とアルゴリズム及び実装例“でも述べているランダムウォークプロセスでモデリングされ、yは正規分布に従うと仮定されている。sampleメソッドを使用して、traceオブジェクトを生成し、このオブジェクトから事後分布を解析することができる。

• pydmn

dlm（Dynamic Linear Models）は、PythonのライブラリであるPyDLMを使用してベイズ構造時系列モデルを実装する手段の一つとなる。以下に、dlmを使用してダイナミック線形モデル（DLM）を実装する基本的な例を示す。まず、PyDLMをインストールする。

pip install pydlm

次に、dlmを使用して時系列データをモデリングし、予測を行う。この例では、観測ノイズの標準偏差を変更してモデルの適合度を調整している。

from pydlm import dlm, trend, dynamic

# サンプルデータの準備
data = [10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100]

# DLMの設定
myDLM = dlm(data)
myDLM = myDLM + trend(degree=1, discount=0.98, name='lineTrend')
myDLM = myDLM + dynamic(features=[[i] for i in data], discount=0.9, name='dynamic')

# モデルのフィッティング
myDLM.fit()

# 未来の予測を行う
future = myDLM.predictN(N=5)

print("予測結果:", future)

この例では、観測データをdataに格納し、dlmモデルを構築している。トレンド要素と動的要素（ここでは観測データそのもの）を含めてモデルを構築し、fitメソッドでモデルをフィッティングし、predictNメソッドを使用して未来の予測を行っている。

<R>

ベイズ構造時系列モデルのRによる実装にはいくつかのパッケージが存在する。以下にいくつか代表的なものについて述べる。

• bstsパッケージ

bstsパッケージは、Bayesian Structural Time Series (BSTS) モデルを実装するためのパッケージとなる。BSTSモデルは、トレンド、季節性、回帰などの要素を組み合わせて時系列データをモデリングするためのフレームワークであり、MCMCサンプリングを使用して、パラメータの事後分布を推定する。以下は、bstsパッケージを使用して、AirPassengersデータセットをモデリングする例を示す。

library(bsts)
data(AirPassengers)
model <- bsts(y = AirPassengers, state.specification = "ar(2)", niter = 500)
summary(model)

• bvarsvパッケージ

bvarsvパッケージは、Bayesian Vector Autoregression (BVAR) モデルを実装するためのパッケージとなる。BVARモデルは、複数の時系列変数を同時にモデル化するためのフレームワークであり、時系列データの予測や因果関係の推定に使用される。bvarsvパッケージは、MCMCサンプリングを使用して、パラメータの事後分布を推定している。以下は、bvarsvパッケージを使用して、VARモデルをモデリングする例となる。

library(bvarsv)
data("Canada")
model <- bvar(y = Canada, p = 2, niter = 500)
summary(model)

• Dynamic Linear Models (dlm)

Rのdlmパッケージを使用してベイズ構造時系列モデルを実装する例を示す。このパッケージはダイナミック線形モデル(DLM)のモデリングに特化しており、状態空間モデルやカルマンフィルタなどをサポートしている。まず、Rのdlmパッケージをインストールする。

install.packages("dlm")

次に、以下のコードは、dlmパッケージを使用してダイナミック線形モデルを実装する例となる。ここでは、単純なローカル線形トレンドモデルを用いて、観測データをモデリングしている。

library(dlm)

# サンプルデータの準備
data <- c(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100)

# ローカル線形トレンドモデルの設定
model <- dlmModPoly(order = 1)
build <- dlmBuild(data, model)

# フィルタリングと平滑化
filtered <- dlmFilter(build)
smoothed <- dlmSmooth(build)

# 未来の予測を行う
future <- dlmForecast(build, nAhead = 5)

print("予測結果:")
print(future)

この例では、観測データをdataに格納し、dlmパッケージを使用してローカル線形トレンドモデルを構築している。dlmFilter関数でフィルタリング、dlmSmooth関数で平滑化を行い、dlmForecast関数で未来の予測を行っている。dlmパッケージは非常に柔軟で多機能なため、複雑なモデルやデータにも対応できるものとなっている。

• bayesm

bayesmパッケージは、Rを使用してベイズ統計モデルを実装するための強力なツールとなる。以下に、bayesmパッケージを使用してベイズ構造時系列モデルを実装する基本的な例を示す。ここでは、ダイナミック線形モデル（DLM）を使用している。まず、bayesmパッケージをインストールする。

install.packages("bayesm")

次に、以下のコードは、bayesmパッケージを使用してダイナミック線形モデルを実装する例となる。この例では、単純なローカル線形トレンドモデルを用いて、観測データをモデリングしている。

library(bayesm)

# サンプルデータの準備
data <- c(10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100)

# ダイナミック線形モデルの設定
y <- data
T <- length(y)
nfac <- 1  # ファクターの数
X <- matrix(1, T, nfac)
Z <- matrix(1, T, nfac)
G <- diag(nfac)
W <- diag(nfac)
m0 <- rep(0, nfac)
C0 <- 1e6 * diag(nfac)
a0 <- rep(0, nfac)
R0 <- diag(nfac)
delta = 2
kappa = 1

# モデルのフィッティング
dlmout <- dlm(y = y, X = X, Z = Z, G = G, W = W,
              m0 = m0, C0 = C0, a0 = a0, R0 = R0,
              delta = delta, kappa = kappa)

# 予測の実行
forecast <- dlmForecast(dlmout, nAhead = 5)

print("予測結果:")
print(forecast)

この例では、観測データをdataに格納し、bayesmパッケージを使用してダイナミック線形モデルを構築している。dlm関数でモデルをフィッティングし、dlmForecast関数で未来の予測を行っている。

bayesmパッケージは非常に柔軟で多機能なため、モデルの構築やパラメータの調整は、具体的な問題に応じて行う必要がある。

• marss

marss（Multivariate Autoregressive State-Space Models）パッケージは、Rを使用してベイズ統計モデルを実装するためのパッケージとなる。以下に、marssパッケージを使用してベイズ構造時系列モデルを実装する例を示す。ここでは、多変量時系列データを扱う例を示している。まず、marssパッケージをインストールする。

install.packages("marss")

次に、以下のコードは、marssパッケージを使用してベイズ構造時系列モデルを実装する例となる。この例では、2変数の多変量自己回帰モデル（VARモデル）を使用して、観測データをモデリングしている。

library(marss)

# サンプルデータの準備
set.seed(123)
T <- 100
y <- matrix(rnorm(2 * T), ncol = 2)

# VARモデルの設定
A <- array(0, dim = c(2, 2, 1))
A[, , 1] <- diag(2)
Q <- array(0, dim = c(2, 2, 1))
Q[, , 1] <- diag(2)
Z <- array(0, dim = c(2, 2, 1))
Z[, , 1] <- diag(2)
H <- array(0, dim = c(2, 2, 1))
H[, , 1] <- diag(2)
m0 <- array(0, dim = c(2, 1, 1))
C0 <- diag(2)

# モデルの設定
model <- MARSS(y, model = "diagonal", A = A, Q = Q, Z = Z, H = H,
               m0 = m0, C0 = C0)

# フィッティング
fit <- fitMARSS(model)

# 予測の実行
forecast <- predictMARSS(fit, nAhead = 5)

print("予測結果:")
print(forecast$statesPred)

この例では、2変数の多変量時系列データをyに格納し、marssパッケージを使用してVARモデルを構築している。MARSS関数でモデルを設定し、fitMARSS関数でモデルをフィッティングし、predictMARSS関数で未来の予測を行っている。

参考図書と参考文献

時系列データ分析の詳細に関しては、”時系列データ解析“に述べており、ベイズ推定に関しては”確率的生成モデルについて“、”ベイズ推論とグラフィカルモデルによる機械学習“、”ノンパラメトリックベイズとガウス過程について“、”マルコフ連鎖モンテカルロ(MCMC)法とベイズ推定“等に述べている。そちらも参照のこと。

参考図書としては”時系列分析と状態空間モデルの基礎: RとStanで学ぶ理論と実装“

“時系列解析: 自己回帰型モデル・状態空間モデル・異常検知“

“カルマンフィルタ ―Rを使った時系列予測と状態空間モデル“

“岩波データサイエンス Vol．6“

“異端の統計学 ベイズ“

“ベイズモデリングの世界“

“機械学習スタートアップシリーズ　ベイズ推論による機械学習入門“

“Ｐｙｔｈｏｎではじめるベイズ機械学習入門“等がある。

ベイズ時系列モデリング全般

1. Andrew C. Harvey
   “Dynamic Models for Volatility and Heavy Tails: With Applications to Financial and Economic Time Series”
   → 構造時系列モデルを理論から応用まで体系的に解説した名著。金融データや経済データへの応用事例も豊富。

2. Mike West, Jeff Harrison
   “Bayesian Forecasting and Dynamic Models”
   → ダイナミック線形モデル（DLM）をベースにベイズ時系列分析を解説。状態空間モデルやフィルタリングなど、BSTSの基礎概念も押さえられる。

3. Rob J. Hyndman, George Athanasopoulos
   “Forecasting: Principles and Practice”
   → ベイズ的な考え方に触れながら時系列予測を学べる入門書。Rパッケージとの連携も示され、実装を通じた理解に役立つ。

ベイズ統計と変分推論

4. Kevin P. Murphy
   “Machine Learning: A Probabilistic Perspective”
   → ベイズモデリング全般を学ぶには必須。変分ベイズ法やマルコフ連鎖モンテカルロ法（MCMC）を使った時系列モデルの解析が詳しく説明されている。

5. Christopher M. Bishop
   “Pattern Recognition and Machine Learning”
   → ベイズ推論、動的モデル、状態空間モデルに関する網羅的な解説があり、構造時系列モデルとのつながりも理解できる。

実践的BSTSモデリング

6. Scott, Steven L., Varian, Hal R.
   “Predicting the Present with Bayesian Structural Time Series”（論文）
   → GoogleのエコノミストによるBSTSの原典論文。時系列予測へのBSTSの応用やモデルの直感的な解釈を知るのに最適。

7. Richard McElreath
   “Statistical Rethinking: A Bayesian Course with Examples in R and Stan”
   → 実践的なベイズ時系列モデルの構築に役立つ一冊。Stanを用いたモデル実装例が豊富で、柔軟なBSTSモデルの構築に役立つ。